Александър Райчев е роден в Лом. Когато е на 8-годишна възраст родителите му - занаятчии, се преместват в София. Тогава той започва уроци по пиано, теория на музиката и композиция. През 1935-37 г. написва първите си композиции - гавот, менует, сонатина, соната за пиано в класически стил, а година по-късно и първата си оркестрова творба (симфоничната поема "Мадарски конник" по едноименния разказ на Ангел Каралийчев).
Райчев постъпва през 1943 г. в теоретичния отдел на Музикалната академия. Пиано и композиция учи при проф. Панчо Владигеров, хармония, контрапункт и солфеж - при Асен Карастоянов, а оркестрация при проф. Марин Големинов.
Шест симфонии, четири опери, два балета, над 500 песни и инструментални пиеси, а също и музика към игрални филми са дело на Александър Райчев. Той е автор на много статии по проблемите на музиката, както и на "Учебник по хармония".
